Raportul auriu este o proporție care a fost considerată cea mai perfectă și armonioasă din cele mai vechi timpuri. Formează baza multor structuri antice, de la statui la temple, și este foarte comun în natură. În același timp, această proporție este exprimată în construcții matematice surprinzător de elegante.
Instrucțiuni
Pasul 1
Proporția de aur este definită după cum urmează: este o astfel de împărțire a unui segment în două părți, încât partea mai mică se referă la cea mai mare în același mod în care partea mai mare se referă la întregul segment.
Pasul 2
Dacă lungimea întregului segment este luată ca 1, iar lungimea părții mai mari este luată ca x, atunci proporția căutată va fi exprimată prin ecuația:
(1 - x) / x = x / 1.
Înmulțind ambele părți ale proporției cu x și transferând termenii, obținem ecuația pătratică:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Pasul 3
Ecuația are două rădăcini reale, de care suntem interesați în mod natural doar de pozitiv. Este egal cu (√5 - 1) / 2, care este aproximativ egal cu 0, 618. Acest număr exprimă raportul auriu. În matematică, este cel mai adesea notată cu litera φ.
Pasul 4
Numărul φ are o serie de proprietăți matematice remarcabile. De exemplu, chiar din ecuația originală se vede că 1 / φ = φ + 1. Într-adevăr, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Pasul 5
O altă modalitate de a calcula raportul auriu este utilizarea unei fracții infinite. Pornind de la orice x arbitrar, puteți construi secvențial o fracție:
X
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Pasul 6
Pentru a facilita calculele, această fracțiune poate fi reprezentată ca o procedură iterativă, în care pentru a calcula pasul următor, trebuie să adăugați unul la rezultatul pasului anterior și să îl împărțiți la numărul rezultat. Cu alte cuvinte:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Acest proces converge, iar limita sa este φ + 1.
Pasul 7
Dacă înlocuim calculul reciprocului cu extracția rădăcinii pătrate, adică efectuăm o buclă iterativă:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), atunci rezultatul va rămâne neschimbat: indiferent de x-ul ales inițial, iterațiile converg la valoarea φ + 1.
Pasul 8
Geometric, raportul auriu poate fi construit folosind un pentagon regulat. Dacă desenăm două diagonale care se intersectează în ea, atunci fiecare dintre ele o va împărți pe cealaltă strict în raportul auriu. Această observație, potrivit legendei, aparține lui Pitagora, care a fost atât de șocat de modelul găsit încât a considerat steaua corectă cu cinci colțuri (pentagrama) ca fiind un simbol divin sacru.
Pasul 9
Motivele pentru care raportul auriu pare cel mai armonios pentru o persoană sunt necunoscute. Cu toate acestea, experimentele au confirmat în repetate rânduri că subiecții cărora li s-a recomandat să împartă segmentul în două părți inegale, cel mai frumos o fac în proporții foarte apropiate de raportul auriu.
